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    數學之美:立交橋布局中的迷人曲線
    2021-01-11 來源:超級數學建?!?/div>

      1. 引言

      隨著高速公路建設的飛速發展,我們在日常生活中所見到的高速公路立交橋越來越多,而且式樣也是越來越多。立體交叉是車輛匯集、分叉和轉向的核心部分。立交橋的設計的好壞直接影響到行車速度和行車安全。

      1922年,法國著名的規劃思想家、現代建筑運動創始人之一勒·柯布西埃(Le Corbusier)出版了一本《明天的城市及其規劃》(The City of To-morrow and its Planning),在城市規劃研究中首先提出多層、高速的公路立體交叉的思想。

      現在,立體交叉已經從城市發展到了高速公路。高速公路上的互通式立交橋由高速公路的基本路段、立交橋、匝道、交織區、收費口、監控系統和服務設施組成了一個綜合體系。

      立交橋的設計不僅體現在它的科學性,也體現在它的美觀性。美觀的立交橋也會讓機動車駕駛員感到有所是從和和有所準備,為駕駛更添一份安全因素。本文以立交橋布局設計中的曲線之美為線索,聊聊相關的數學知識,并用 和 這兩個數學軟件制圖,為讀者在以后的旅途中增加一些樂趣。

      在公路運輸領域里,交匯處通常使用立體化和一個或多個匝道(引道)來實現至少一條高速公路上的交通能通過交叉口而不直接穿過任何其他交通車流。在這里,立交橋扮演著重要的角色。

      最常見的四方向高速公路立交橋有苜蓿葉型、環狀型、渦輪型、風車型和環路型等,另外還有它們的一些混合型。我們來一一介紹。

      由于國際上有靠右和靠左行駛兩套系統,而且高速公路與鐵路和市區公路也有立交,以下我們只考慮靠右行駛道路并只考慮有四個方向的高速汽車公路的立交橋設計。

      2. 苜蓿葉立交橋型

      最典型的是苜蓿葉型(cloverleaf interchange)。在這里“cloverleaf”,我們指的是“four-leaf clover”這種植物。苜蓿葉型也稱為四葉型和幸運草型。

      典型的苜蓿葉型交匯有兩層,這樣使得所有原來需要穿越相交道路的轉向都由環形匝道來避免,也就是說,讓左轉車輛行駛約270度的環道后自右側切向匯入高速公路。

      這四條環形匝道就形成了苜蓿葉的形狀。苜蓿葉型的優點在于它只需要一個立交橋,也就是兩層交通。因此建設經費較少。

      但是這樣的交叉口占地面積大,路線迂回較長。更嚴重的是兩環間的路段也容易形成交織路段,直行車輛易受轉向車輛干擾,影響了高速公路的運載能力。筆者曾經遇到一位老年婦女在直行道上想上環形匝道卻又無法上去結果停在了直路中間,結果躲閃不及而追尾。

      這種立交橋最早是美國新澤西州Woodbridge的兩條道路交叉處。這也是世界上的第一座立交橋。該立交的平均通量為每晝夜達62500輛,高峰小時交通量達6074輛,即每分鐘大約可容許100輛汽車通過。苜蓿葉式在全世界各地都很多。比如下面的南京繞城高速和玄武大道立交(圖1(b))。

      

      圖1.(a) 苜蓿葉型立交橋的布局。

      

      圖1.(b)南京玄武大道立交

      植物學上,“clover”是三葉草。在西方很多國家(如英國、美國)長有四片葉子的三葉草。四葉草是三葉草的稀有變種(圖2(a))。據說大約一萬至十萬株三葉草中才會有一株是四葉的。西方人認為能找到四葉草是幸運的表現,在日本則認為會得到幸福,所以又稱“幸運草”。

      人們對這四片葉子也賦予了含義。有一種說法是:第一片葉子代表希望(hope)、第二片葉子表示信心(faith)、第三片葉子是愛情(love)、而多出來的第四片葉子則是幸運(luck)的象征。

      

      圖2. (a) 四葉草。

      

      圖2.(b) 四葉玫瑰線。

      數學上,我們把這樣的曲線叫做“四葉玫瑰線”(Quadrifolium)。它是由極坐標方程生成的。顯然這是當 n = 2 時的玫瑰線 r = acos(nθ)。我們可以很容易地將“四葉玫瑰線”的極坐標方程轉換成直角坐標方程 (x + y ) = 4a x y 。所以它是一個幾何虧格為零的代數曲線。

      但如果我們需要計算它所包含的面積的話,那么還是采用極坐標來計算為宜:

      當我們考慮曲線的長度時,則需要用到第二類橢圓積分了。在這里我們只給它的近似值:s = 9.86884…a。有人說它像是中國結,也有道理。

      的表達式是 PolarPlot[Cos[2t],]。建議讀者到網站上去做出 r = 5cos(nθ) 的圖像并讓 n 變動起來,看看能得到一些什么圖像。用 做動態模擬時的表達式為:

      Manipulate[PolarPlot[5Cos[nt],,PlotRange?5],]

      圖2(c)是它的效果圖。

      

      圖2.(c) r = 5cos(nθ)

      3. 環狀型立交橋

      第二種立交橋是環狀型(stack interchange)。環狀型也稱為定向式(directional interchange)。中文的“環狀”與英文的“stack interchange”并沒有直接的聯系。“stack”的意思是堆,疊加的意思。取這個名字是因為環狀型多為數層疊加的原因。所以翻譯成“多級立交”更為合適。

      筆者更傾向于稱之為定向式,因為它讓左轉的車輛保持了左轉,而不會像上面苜蓿葉型那樣通過右轉來實現左轉。左轉和右轉車輛都先從最右車道上匝道,然后二者分離,左轉車輛到相對象限里匯入到那里的右轉車輛所在匝道,然后一起并入住主車道。

      環狀型立交沒有苜蓿葉型容易產生車流交織的缺點,也無需做270度的轉彎,但其立交橋層數多,一般多為三層,也有四層和五層的例子, 因此造價相對昂貴,也容易產生視覺上的景觀沖擊。

      筆者第一次見到這樣的高速系統是在休士頓。那時候中國還完全沒有高速公路的概念,所以見到這樣的大型立交橋時覺得非常震撼。

      第一座四層定向型立交橋在美國洛杉磯市,是州際I-10和US101的交匯處。它的第二、第四層為主干線,每層有六個車道;第一、第三層為左轉匝道。其最上一層高出地面14.4米,最下層低于地面6.6米。干線設計車速96公里/小時,匝道設計車速55公里/小時,交通量達75000-100000輛/晝夜,耗資約280萬美元?,F在在中國也有這種立交模式,比如上海延安東路就有這樣一座環狀型立交橋(圖3(b))。

      

      圖3.(a) 環狀型立交橋的布局。

      

      圖3.(b) 上海延安東路的環狀型立交橋

      不同于苜蓿葉型立交橋,我們沒有找到一條漂亮的數學曲線來代表這種形狀的立交橋。最接近的應該是“內旋輪線”(Hypotrochoid)。給定一個半徑為 R 的褂訕的大圓和一個內切于大圓的半徑為 r 的小圓,從這個小圓的圓心出發做一個褂訕在小圓的射線,然后在這條射線上取一個點 P,點 P 可以在小圓之外。點 P 到小圓中心的距離為 d。當這個小圓沿著大圓的內邊滾動時,點 P 的軌跡就叫作“內旋輪線”。這個曲線的參數方程是:

      注意雖然我們把滾動的圓稱為小圓,其實我們并不假定 r

      

      圖4. 取不同參數時的內旋輪線。

      內旋輪線在 中的一般表達式是

      使用上面的表達式以及 中的 Table,ParametricPlot 和 Grid 等指令,我們就得到了上面的圖4。

      注意當 R = 1,r = 3/4,d = 5/13時,“內旋輪線”最接近于環狀型立交橋。所不同的是,立交橋的四個“葉子”是尖狀的,而“內旋輪線”是光滑的。匝道在接入主線時必須是與主線相切地接入。

      既然我們不能用一個數學方程來描述環狀型,那么我們干脆把四個左轉匝道單獨出來,然后只看其中一段。其他匝道都可以通過旋轉變換來實現。讓我們單獨出其中的由東向南的一段左轉路線來。對于這樣的路線,最好的數學公式恐怕是貝濟埃曲線(Bezier curve)了。如下圖所示,貝濟埃曲線可以在給定的兩個點上按一點的方向連接,而這正好是匝道接入主線時所要求的。

      

      圖5.(a) 環狀型立交橋由東向南的一段。

      

      圖5.(b) 貝濟埃曲線示意圖。

      目標:

      

      圖5.(c) Wolfram給出的一個圖案。

      Wolfram用貝濟埃曲線做出了許多漂亮的花型圖案。但這些圖案都不能滿足我們這里的要求(圖5.(c))。

      我們還可以再進一步,將上面的曲線做一個45o逆時針轉軸。于是我們看到的是近似于一條橢圓曲線(elliptic curve)。數學上,橢圓曲線是一個由代數方程 定義的曲線。下面圖6(b)是當 a = 1 和 b = 4 時的橢圓曲線,是用制作的。用 制作也很簡單,我們略過?;跈E圓曲線數學,人們開發了一種建立公開密鑰加密的算法。

      

      圖6.(a) 做45°逆時針轉軸后的一段匝道。

      

      圖6.(b) 當 a = 1 和 b = 4 時的橢圓曲線。

      4.渦輪型立交橋

      第三種立交橋叫渦輪型(Turbine)。也有人把它稱為渦流型(whirlpool)。這是環狀型立交橋的一個變形,在山區等地形復雜的地方往往有用武之地。

      比起苜蓿葉型,它少了一些交錯,比起環狀型,它又少了一些起伏,所以是道路設計者的一個理想的選擇。

      最漂亮的例子大概是在美國佛羅里達州的洲際公路I-295上的一個渦輪型立交橋(見圖7(b)),其對稱性近乎完美。

      

      圖7.(a) 渦輪型立交橋的布局。

      

      圖7. (b) 佛羅里達州的一個渦輪型立交橋。

      為了幫助讀者理解這種立交橋的名字的來源,我們特地找了一個渦輪機葉片的例子和一個水的渦流的例子(圖8)。

      

      圖8.(a) 渦輪機的葉片。

      

      圖8.(b) 水的渦流。

      數學上最接近于這種類型立交橋的曲線應該是螺線了。螺線的種類有很多,比如阿基米德螺線、等角螺線(對數螺線)、雙曲螺線、費馬螺線、歐拉螺線、對數螺線等等。用哪種螺線來與此類交匯相比都不為過。

      下面我們用斐波那契螺線(Fibonacci spiral)來展示。歐拉螺線也很有意思。我們希望有機會另文介紹。

      斐波那契螺線又叫做黃金螺線(golden spiral),是對數螺線的一個特殊情況。在極坐標系中,對數螺線的方程是

      或

      其中 e 是自然對數的底,θ 是極角,r 是極半徑,a 和 b 為螺線常數。常數 a 代表的是螺線初始時的半徑,常數 b 代表的是增長因子。用參數方程,上述方程變為:

      斐波那契螺線就是讓增長因子與黃金分割數 φ 掛上鉤。具體地說就是當 θ = π/2(或者 -π/2)時,半徑增加的倍數正好是 φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618。即:

      對數螺線是自然界中常見的螺線。對數螺線有許多漂亮的性質,比如對數螺線是自我相似的,經放大后可與原圖完全相同;對數螺線之臂的距離以幾何級數遞增;對數螺線上任意一點與原點連線與其本身形成一個褂訕的角;等等。除此之外,斐波那契螺線還有一個特殊的性質:給任意四個共線的點 A, B, C, D,分別是當角度為 θ, θ + π, θ + 2π, θ + 3π時對數螺線上的點。那么有交比等式:(A,D;B,C) = (A,D;C,B)。在所有對數螺線中,這個性質只在斐波那契螺線時成立。

      用 和 制作斐波那契螺線也很方便。下面分別是用這兩個軟件得到的四條有不同起始點的斐波那契螺線。

      

      圖9. 四個斐波那契螺線的疊加。

      5.風車型立交橋

      風車型(windmill)立交橋類似于渦輪型立交橋,只是拐彎處比較急,使得它的效率比起渦輪型降低了很多。荷蘭在1977年建設了這樣一條高速交叉路口,這是它建成后的樣子。后來這個路口被改造,已經變得非常復雜。

      

      圖10.(a) 風車型立交橋的布局。

      

      圖10.(b) 荷蘭建成的一個風車型立交橋。

      風車型這個名字顯然來自于風車的形狀。它的四個左轉路很像是風車的四個葉片。下面是在奧地利雷茨市的一個古老的風車(圖11(a))。

      

      圖11.(a) 位于奧地利的一個風車。

      

      圖11.(b) 紙風車。

      下面左圖是用 制作的風車的圖案。圖案的方程是:

      建議讀者在 上用不同的 a 和 b 的值來看看將會得到什么曲線。結果一定讓你驚訝。

      

      圖12.(a) 用三角函數畫出的風車。

      

      圖12.(b) 追蹤曲線()

      

      圖12.(c) 追蹤曲線()

      Wolfram有一個網頁專門介紹這個問題。上面圖12(c)是其效果圖。

      6.環島型立交橋

      高速公路上環島型(roundabout)立交橋是由三層道路組成:兩個垂直的道路和一個在中間一層的匝道。主要干道上的交通不受管制。所有需要轉彎的車輛都右轉上匝道,然后真正需要右轉的從第一個路口出去,需要左轉的車輛從第三個路口出去。下面是荷蘭的一個三層環島型立交橋(圖13(b))。

      

      圖13.(a) 環島型立交型的布局。

      

      圖13.(b) 荷蘭的一個三層環島型立交橋。

      從數學上看,在所有類型的立交橋當中,最缺少數學曲線之美的就是環島型立交橋了:它不過是一個直角坐標系加一個單位圓。為統一起見,我們也把它的方程列在這里。單位圓的極坐標方程為r=1,直角坐標方程為 x +y =1,參數方程為

      如果覺得這個太不過癮的話,我們也可以聯想一下其他數學概念。在抽象代數里,直和(direct sum)一般是用符合⊕來表示。例如,假定 R 是實數空間,那么直和 R⊕R 就是XY平面 R 。這個概念在抽象代數里發揮了重要作用。在數學形態學(Mathematical morphology)里,⊕是膨脹算子。另外,在天文學和占星學中,⊕代表地球。

      7.混合型立交橋

      在實際的規劃設計中,大量的立交橋是上面五種橋型的變異和混合。將苜蓿葉型和環狀型結合起來就得到了環狀苜蓿葉型(CloverStack)。它不但可以擁有環狀型立交橋的優點,造價也相對便宜。在苜蓿葉型上增加集散道(cloverleaf with collector/distributor roads)就解決了主干道上車流受干擾的麻煩。也有一半渦輪型和一半環狀型的混合型(Turbine-stack hybrid),部分苜蓿葉型(Parclo),鉆石型(Diamond),分道排球型(Divided volleyball),U形轉彎型(U-turns),等等。我們不再一一介紹。

      

      圖14. 各種混合型和改進型立交橋

      近年來,由于收費的需要,還發展了雙喇叭型(double-trumpet)立交。我們也略去不談。

      8.立交橋和凱爾特結

      所有的標準立交橋都有一個共同的特點:它們都具有多條交織的、暢通無阻的和具有一定對稱性的曲線。在這一點上,立交橋很像凱爾特結(Celtic knot)。凱爾特結是一種由連續不斷的緞帶組成的結和程式化的圖案,它們創造出精美復雜的曲線陣列(比如籃子編織結)。這些結被用于裝飾基督教的紀念碑和文稿。凱爾特結作為凱爾特文化中的重要標志歷來深受歐洲人的喜愛。

      

      圖15. 凱爾特結的兩個例子。

      上圖的第二個凱爾特結是一位叫Xah Lee的寫手上了顏色的,目的就是讓人們可以清楚地看清結的走向。事實上,整個中間的十字架都是一條緞帶。使用不同顏色是為了讓讀者看清路徑,否則整條結都是一個顏色了。這這里,我們注意到凱爾特結的幾何布局多樣勻稱和連續貫通。我們同樣應該注意到凱爾特結的拓撲結構??傊?,凱爾特結的這兩個方面與高速公路的均勻性、對稱性和連通性有著驚人的相似之處。對凱爾特結的數學性質研究似乎不多,但已經證明,凱爾特結和交錯結(alternating knot,即有交錯的投影圖)是等價的。

      也許有讀者會注意到,凱爾特結很多用在了十字架上,而這個結構與前面提到的環島型立交橋很像。這的確是事實,而且專門有一個詞就是凱爾特十字(Celtic cross),描述的就是這類凱爾特結。但不幸的是,凱爾特十字被一個已被禁止的新納粹黨所采用,故德國政府禁止這個標志的公眾展示。其政治和公眾上對此標志的禁止是為了防止納粹主義的復蘇。我們也只好在此回避把凱爾特十字與本文的主題聯系起來。

      9.右轉匝道的情況

      以上的討論都是關于左轉的情況。右轉的匝道一般都是鉆石型的。在下面的圖16(b)里,左轉和右轉都使用了鉆石型,所以是全鉆石型(full diamond)。

      

      圖16.(a) 鉆石型立交型的布局。

      

      圖16.(b) 美國俄克拉荷馬市的一個全鉆石型立交橋。

      這種鉆石型的立交橋可以對應于數學上的星形線(astroid)。星形線的直角坐標方程是x2/3 + y2/3 = a2/3,極坐標方程是r = a(cos2/3θ + sin2/3θ)x3/2,參數方程是:

      星形線是一個幾何虧格為0的代數曲線的實數軌跡,其方程式為:(x +y -a ) +27a x y =0。因此,星形線為六次曲線,在實數平面上有四個尖瓣的奇點,分別是星形線的四個頂點,在無限遠處還有兩個復數的尖瓣的奇點,四個重根的復數奇點,因此星形線共有十個奇點。

      星形線是一個特殊的超橢圓(superellipse)。超橢圓是指滿足方程

      的曲線,其中 n, a, b都是正實數。顯然,星形線就是當a=b,n=2/3時的一個特例。只要 0

      我們最后來看看如何用 得到這一族超橢圓。先令 a=b=1; r =1.1,然后做

      圖17(b)是效果圖。

      

      圖17.(a) 星形線。

      

      圖17. (b) 超橢圓。

      星形線還能被看作是一條有四個尖點的內擺線(hypocycloid)。內擺線也叫做圓內螺線。假設有一個定圓,若有另一個半徑是此圓半徑的1/n+1倍的圓在其內部滾動,則圓周上的一定點在滾動時劃出的軌跡就是一條內擺線(圓內螺線)。顯然,內擺線是一類特殊的內旋輪線。我們在前面已經討論過這類曲線。

      10.結束語

      本文僅僅是以高速公路立交橋布局的不同特徵為線索介紹一些有意思的數學曲線,并著重演示了使用 和 作圖的威力。當然,如果我們考慮更多的立交橋的類型,我們一定還會聯系到更多漂亮的數學曲線。這個工作就留給讀者吧。



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